Біртекті дифференциалдық теңдеу

Екі айнымалыдан тәуелді f(x, y) функция m дәрежелі біртекті деп аталады егер мына шарт орындалса:

f(kx, ky) = k^m f(x, y)

Мысалы мынау екінші дәрежелі біртекті функция болады:

f(x, y) = xy

Себебі:

f(kx, ky) = kx*ky = k²x*y = k² f(x, y)

P(x, y) және Q(x, y) функциялары бірдей дәрежелі біртекті функциялар болса, онда мынау біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

Мысалы мына теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеу болады:

xydy - (x² + y²)dx = 0

Бұны өз бетімен тексерініз! Нешінші дәрежелі біртекті функциялар болады?

Біртекті дифференциалдық теңдеу шешу үшін y = ux қойылымы пайдалынады.

xydy - (x² + y²)dx = 0

xyy' - x² - y² = 0

y = ux

x ux (ux)' - x² - (ux)² = 0

x²u (u + u'x) - x² - u²x² = 0

x²u² + x²uu'x - x² - u²x² = 0

x²uu'x - x² = 0

uu'x - 1 = 0

uu'x = 1

uu' = 1/x

u du/dx = 1/x

Бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу.

u du = dx/x

∫ u du = ∫ dx/x

1/2 u² = ln|x| +lnC

u² = ln|x/C|

u = √ ln|x/C|

y = ux

u = y/x

y/x = √ ln|x/C|

y = x√ ln|x/C|

Жаттығу ретінде мына біртекті дифференциалдық теңдеулерді шешіңіз:

a) (x +2y)dx - xdy = 0

b) y' = - (x+y)/x