Математикалық индукция әдісі

Математикалық индукция әдісі бұл кейбір формулалар мен теоремаларды дәлелдеу үшін жиі қолданылатын құрал. Мысалы мына тепе-теңдікті дәлелдейік:

1+2+3+...+n = n(n+1)/2, n-натурал сан

Бұл үшін осы формуланы n=1 болғанда орынды болатынына көз жеткіземіз:

1 = 1(1+2)/2

1 = 1

Бұл формула n=1 болғанда орынды.

Енді бұл формула n-1 болғанда орынды деп санаймыз да бұның n болғанда орынды болатының дәлелдейміз:

1+2+3+...+n-1 = (n-1)(n-1+1)/2

1+2+3+...+n-1 = (n-1)n/2

Бұл теңдіктің екі жағына n қосамыз:

1+2+3+...+n-1+n = (n-1)n/2 + n

1+2+3+...+n = ((n-1)n +2n)/2

1+2+3+...+n = (n² - n +2n)/2

1+2+3+...+n = (n²+ n)/2

1+2+3+...+n = n(n+1)/2

Сөйтіп бұл формула n-1 болғанда орынды деп санап бұның n болғанда орынды болатына көз жеткіздік. Бұл алгоритм жоғарыдағы формуланы толығымен дәлелдейді.

Себебі бұл формула n=1 орынды болғандықтан, n=1+1 =2 орынды болады, n=2 орынды болғандықтан n=2+1 = 3 орынды болады, сөйтіп барлық натурал сандар үшін жоғарыдағы формула орынды болады. Математикалық индукция дегеніміз осы!

Сонымен математикалық индукция екі сатыдан құралған тәсіл, әдіс:

1) n=1 болғанда формуланы тексереміз;

2) n-1 болғанда орынды деп санап, формуланың n тең болғанда орынды болатынына көз жеткіземіз.

Мына теңдіктерді дәлелдеңіз (n натурал сан):

a) 1² + 2² + 3² +...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

b) 1+2¹+2²+...+2ⁿ = 2ⁿ - 1

Пән: Математика

Жандос Алпысбай-ұлы